Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥AC即可；由于OB=OD，且BD平分∠ABC，利用角平分线的定义以及等边对等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD，由此可证得OD∥BC，而BC⊥AC，即OD⊥AC，由此得证．
（2）根据∠DAO的正切值，可求出AD、OD的比例关系，可用未知数表示出两者的长，进而可求得BE、AE的表达式，由于AE+BE=AB=5，由此可求出未知数的值，也就得到了AE的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OD⊥AC；
又∵点D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3，则AB=5；
在Rt△AOD中，设AD=4x，则OD=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AE=OA-OE=2x，
由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x=

5

8

，
∴AE=2x=

5

4

．

点评：此题主要考查了切线的判定方法，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．