Question

19．抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分别为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，列方程组可求a、b的值，写出解析式即可；
（2）先求点C和D的坐标，求直线BD的解析式，根据横坐标m表示出点Q和M的纵坐标，由MQ∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明MQ=CD即可，因此列等式：（-$\frac{1}{2}$m+4）-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4），求m即可；
（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，可先判断四边形CQBM是平行四边形，解得M点到BC的距离与Q到BC的距离相等，所以过M或Q点的与直线BC平行的直线与抛物线的交点即为所求，列方程组可得结论．

解答 解：（1）将A（-2，0），B（8，0）代入抛物线y=ax²+bx-4得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）当x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∵四边形DECB是菱形，
∴OD=OC=4，
∴D（0，4），
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、D（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵l⊥x轴，
∴M（m，-$\frac{1}{2}$m+4）、Q（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
如图1，∵MQ∥CD，
∴当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4），
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4，
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）如图2，要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、C（0，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-4，
由（2）知：当P（4，0）时，四边形DCQM为平行四边形，
∴BM∥QC，BM=QC，
得△MFB≌△QFC，
分别过M、Q作BC的平行线l₁、l₂，
所以过M或Q点的斜率为的 $\frac{1}{2}$直线与抛物线的交点即为所求，
当m=4时，y=-$\frac{1}{2}$m+4=-$\frac{1}{2}$×4+4=2，
∴M（4，2），
当m=4时，y=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4=$\frac{1}{4}$×16-$\frac{3}{2}$×4-4=-6，
Q（4，-6），
①设直线l₁的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵直线l₁过Q点时，
∴-6=$\frac{1}{2}$×4+b，b=-8，
∴直线l₁的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-8，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-8}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4$=$\frac{1}{2}$x-8，
解得x₁=x₂=4（与Q重合，舍去），
②∵直线l₂过M点，
同理求得直线l₂的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4$=$\frac{1}{2}$x，
x²-x-16=0，
解得x₁=4+4$\sqrt{2}$，x₂=4-4$\sqrt{2}$，
代入y=$\frac{1}{2}$x，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4+4\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4-4\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
则N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
故符合条件的N的坐标为N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．