Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC=2CD；④∠AFB=∠BCD
其中正确的个数为

1. A.
   0个
2. B.
   1个
3. C.
   2个
4. D.
   3个

Answer 1

D
分析：根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，作出辅助线，根据有关性质和定理对每一结论进行证明即可得出答案．
解答：①∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC=90°，
∴∠ADC＞90°，
∴线段AC不为⊙O的直径，
∴①错误，②正确；
③过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC=BC．
∴BC=2CD，
∴③正确；
④∵∠BFC=∠BAD，
∠AFB=180°-∠BFC，
∠BCD=180°-∠BAD，
∴∠AFB=∠BCD
∴④正确；
其中正确的个数为3个．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理；用到的知识点为圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是作出辅助线根据有关性质和定理对每一结论进行证明．