Question

如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA、PB分别于M、N，若⊙O的半径为2，∠P=60°，则△PMN的周长为

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接OP，由圆外一点P作圆的两条切线PA与PB，根据切线长定理得到PA=PB，且PO为角平分线，由∠APB=60°，得到∠APO=30°，再由切线的性质得到OA与AP垂直，在直角三角形APO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由半径OA的长求出斜边OP的长，再利用勾股定理求出AP的长，由MA与MC为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MC，同理可得NB=NC，然后把三角形PMN的三边相加表示出三角形PMN的周长，等量代换后得到其周长为2PA，把PA的长代入即可求出三角形PMN的周长．
解答：连接OP，

∵PA，PB为圆O的切线，
∴PA=PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，
又∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
在直角三角形APO中，OA=2，
∴OP=2OA=4，
根据勾股定理得：PA==2，
∵MA，MC为圆O的两条切线，
∴MA=MC，
又NB，NC为圆O的切线，
∴NC=NB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN
=PM+PN+MC+NC
=PM+PN+MA+NB
=PA+PB=2PA
=4．
故选C
点评：此题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．