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(2012•贵阳)如图,在⊙O中,直径AB=2,CA切⊙O于A,BC交⊙O于D,若∠C=45°,则
(1)BD的长是
2
2

(2)求阴影部分的面积.
分析:(1)连接AD,由于AC是⊙O的切线,所以AB⊥AC,再根据∠C=45°可知AB=AC=2,由勾股定理可求出BC的长,由于AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°,故D是BC的中点,故可求出BD的长度;
(2)连接OD,因为O是AB的中点,D是BC的中点,所以OD是△ABC的中位线,所以OD⊥AB,故
BD
=
AD
,所以
BD
与弦BD组成的弓形的面积等于
AD
与弦AD组成的弓形的面积,所以S阴影=S△ABC-S△ABD,故可得出结理论.
解答:解:(1)连接AD,
∵AC是⊙O的切线,
∴AB⊥AC,
∵∠C=45°,
∴AB=AC=2,
∴BC=
AB2+AC2
=
22+22
=2
2

∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴D是BC的中点,
∴BD=
1
2
BC=
2


(2)连接OD,
∵O是AB的中点,D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=1,
∴OD⊥AB,
BD
=
AD

BD
与弦BD组成的弓形的面积等于
AD
与弦AD组成的弓形的面积,
∴S阴影=S△ABC-S△ABD=
1
2
AB•AC-
1
2
AB•OD=
1
2
×2×2-
1
2
×2×1=2-1=1.
点评:本题考查的是切线的性质,涉及到三角形的面积、等腰三角形的性质及三角形中位线定理、圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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2n-1
80°
2n-1

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