Question

如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和lcm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．

Answer 1

解：（1）根据题意，得AP=2tcm，BQ=tcm，
∵AB=6cm，
∴BP=（6-2t） cm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①当∠BQP=90°时，∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BQ=BP，
即t=（6-2t），
解得t=（秒）．
②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴∠BQP=90°-60°=30°，
∴BP=BQ，
即6-2t=t，
解得t=（秒），
答：当t=秒或t=秒时，△PBQ是直角三角形；

（2）过P作PM⊥BC于M，
则Rt△PBM中，sinB=，
∴PM=PB•sin60°=（6-2t）=（3-t），
S_△PBQ=BQ•PM=t•（3-t），
过A作AN⊥BC于N，
则Rt△ABN中，sinB=，
∴AN=AB•sin60°=6×=3，
∴S_△ABC=BC•AN=×4×3=6，
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=6-t•（3-t）=t²-t+6，
∴y与x之间的函数关系式为y=t²-t+6，
又∵y=t²-t+6=（t-）²+，
∴当t=时，即AP=2t=3（cm），点P运动到边AB的中点时，四边形APQC的面积最小，其最小面积为．
分析：（1）用t表示出AP、BQ、BP，然后分①∠BQP=90°，②∠BPQ=90°两种情况，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列式计算即可得解；
（2）过P作PM⊥BC于M，求出PM的长度，然后表示出△PBQ的面积，在过点A作AN⊥BC于N，然后求出AN的长度，再求出△ABC的面积，然后根据S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出t的值，即可得到点P得到位置．
点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，二次函数的最值问题，解直角三角形，（1）要注意分情况讨论，（2）根据四边形APQC的面积等于两个三角形的面积的差列式是解题的关键，也是常用的方法之一．