Question

19．菱形ABCD中，∠B=60°，∠AEK=30°，FC⊥EC交BK于F，若EC=2$\sqrt{3}$，FC=4，则BE=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AF，过F作FH⊥AC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC，于是得到△ABC是等边三角形，求得∠ACB=60°，得到∠ACF=30°，证得∠AEK=∠ACF，根据三角形的内角和得到∠EAC=∠CFE，推出点A，E，C，F四点共圆，得到∠EAF=90°，由勾股定理得到EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，求出AF=$\sqrt{7}$，根据直角三角形的性质得到FH=$\frac{1}{2}$CF=2，CH=2$\sqrt{3}$，再由勾股定理得到AH=$\sqrt{A{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：连接AF，过F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵FC⊥CE，
∴∠ACF=30°，
∵∠AEK=30°，
∴∠AEK=∠ACF，
∴∠EAC=∠CFE，
∴点A，E，C，F四点共圆，
∴∠EAF=90°，
∵EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AF=$\sqrt{7}$，
∵FH⊥AC，∠ACF=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$CF=2，CH=2$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{A{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=AC=AH+CH=3$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，四点共圆，勾股定理等边三角形的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．