Question

已知△ABC和△FDE是顶角相等的两个等腰三角形，AB=AC，FD=FE，把点F放到与A点重合，E在线段BC的延长线上．

（1）如图1，若∠BAC=∠DFE=60°，此时∠DCE=

 

；
（2）如图2，若∠BAC=∠DFE=95°，此时∠DCE=

 

；
（3）若∠BAC=∠DFE=n°，将△FDE沿线段AC向下滑动，如图3所示，试猜想此时∠DCE的度数，并写出详细求解过程．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，FD=FE，再加上∠BAC=∠DFE=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABC和三角形FDE都为等边三角形，从而得到∠BAC与∠EAD相等都为60°，两角都加上∠ACE，根据等式的基本性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形ACD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠B=60°，又∠ACB也为60°，根据平角定义即可求出∠DCE为60°；
（2）由∠BAC与∠EAD相等都为95°，两角都加上∠ACE，根据等式的基本性质得到一对角相等，再由AB=AC，FD=FE，利用SAS得到三角形ABE与三角形ACD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠B=∠C=

180°-95°

2

，由平角定义即可求出∠DCE的度数；
（3）过F作FG平行与AB，由两直线平行得到两对同位角相等，先根据等量代换得到∠FGC=∠ACB，利用等角对等边得到FG=FC，再等量代换得到∠CFG=∠DFE，两角都加上∠CFE，根据等式的基本性质得到一对角相等，再由FG=FC，FD=FE，利用SAS得到三角形GFE与三角形CFD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠FGC=∠FDC=

180°-n°

2

，由平角定义即可求出∠DCE的度数．

解答：解：（1）∵AB=AC，FD=FE，∠BAC=∠DFE=60°，
∴△ABC与△FED是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵∠BAC=∠DFE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中

AB=AC ∠BAE=∠ FE=FD

CFD，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=60°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=60°；

（2）∵AB=AC，∠BAC=95°，
∴∠ABC=∠ACB=42.5°
又∵∠BAC=∠DFE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中

AB=AC ∠BAE=∠ FE=FD

CFD，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=42.5°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=95°；

（3）过F作FG∥AB，
∴∠FGC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠FGC=∠ACB，∴FG=FC，
又∠BAC=n°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-n°

2

，
又∵FG∥AB，
∴∠CFG=∠CAB，又∠CAB=∠DFE，
∴∠CFG=∠DFE，
∴∠CFG+∠EFC=∠DFE+∠EFC，
即∠GFE=∠CFD，
在△GFE和△CFD中

GF=CF ∠GFE=∠ FE=FD

CFD，
∴△GFE≌△CFD（SAS），
∴∠FGC=∠FCD=

180°-n°

2

，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD
=180°-

180°-n°

2

-

180°-n°

2

=n°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题时采用了由特殊到一般的推理方法：发现规律并证明，要注意思路及方法的迁移，同时通过构造全等三角形来解决证明角、边的相等问题，尤其在证明其性质和判定中，展示的转化意识对学生分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．本题第三问作出辅助线FG平行于AB是证明的突破点．