Question

1．在直角坐标系中，点A₁的坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线y=2x于A₂，过点A₂作直线y=2x的垂线交x轴于A₃，过点A₃作x轴的垂线交直线y=2x于A₄…，依此规律，则A₂₀₁₆的坐标为（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．

Answer 1

分析 根据直线解析式求出A₁A₂的长，再判断出△OA₁A₂和△A₂A₃A₁相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A₁A₃，然后求出OA₃，同理求出A₃A₄，再求出A₃A₅，然后求出OA₅，依此类推求出OA₉，再求出OA₇的长，根据此规律可得出OA₂₀₁₅的长，进而得出结论．

解答 解：∵A₁的坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线y=2x于A₂，
∴y=2×1=2，
∴A₁A₂=2，
由A₂A₃垂直于直线y=2x，易求△OA₁A₂∽△A₂A₃A₁，
∴$\frac{{A}_{1}{A}_{3}}{{A}_{1}{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{{OA}_{1}}$，
即$\frac{{A}_{1}{A}_{3}}{2}$=$\frac{2}{1}$，
解得A₁A₃=4，
∴OA₃=1+4=5=5¹，
同理：A₃A₄=2×5=10，
A₃A₅=2A₃A₄=20，
∴OA₅=5+20=25=5²；
A₅A₆=2×25=50，
A₅A₇=2A₅A₆=2×50=100，
∴OA₇=25+100=125=5³；
同理可得，OA₂₀₁₅=${5}^{\frac{2015-1}{2}}$=5²⁰¹⁷，
∴A₂₀₁₅A₂₀₁₆=2×5²⁰¹⁷，
∴A₂₀₁₆的坐标为（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．
故答案为：（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出OA₁，OA₃，OA₅之间的规律是解答此题的关键．