Question

一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则

a2+b2=c2 a+b+c= ab 2

，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．

解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则

a2+b2=c2 a+b+c= ab 2

，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+

a2+b2

=

ab

2

，
∴a+b-

ab

2

=

a2+b2

，
两边平方，得
a²+2ab+b²-ab（a+b）+

a2b2

4

=a²+b²
整理得：

a2b2

4

-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab得：

ab

4

-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①

a-4=8 b-4=1

，解得

a=12 b=5

，则c=13；
②

a-4=4 b-4=2

，解得

a=8 b=6

，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．