Question

探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高．
（1）若BD=h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h₁，h₂．
A、若M在线段BC上，请你结合图形①证明：h₁+h₂=h；
B、当点M在BC的延长线上时，h₁，h₂，h之间的关系为

 

．（请直接写出结论，不必证明）
（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=

3

4

x+6；l₂：y=-3x+6．若l₂上的一点M到l₁的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）如图，连接AM，由于S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，而AB=AC，因此即可证明结论；
（2）由题意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，由h=EO=6可以得到M到DF（即x轴）的距离也为3，此时可求得M的坐标；
当点M在射线FE上时，依据（1）中结论，由h=EO=6可以得到M到DF（即x轴）的距离也为9，此时可求得M的坐标故点M的坐标为．

解答：（1）证明：连接AM，
①∵S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，
∴

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，
又∵AB=AC，
∴h=h₁+h₂，（2分）
h₁-h₂=h；（3分）
故答案为：h₁-h₂=h．

（2）由题意可知，DE=DF=10，
∴△EDF是等腰三角形，（4分）
当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，
∵h=EO=6，
∴M到DF（即x轴）的距离也为3，
∴点M的纵坐标为3，此时可求得M（1，3），（6分）
当点M在射线FE上时，依据（1）中结论，
∵h=EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为9，
∴点M的纵坐标为9，此时可求得M（-1，9），（8分）
故点M的坐标为（1，3）或（-1，9）．

点评：此题分别考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、一次函数的性质等知识，题目要求学生有较高的综合解题能力，把几何图形的结论利用到函数图象中解决问题．