Question

在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²，其中正确的是

1. A.
   ②④
2. B.
   ①④
3. C.
   ②③
4. D.
   ①③

Answer 1

B
分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②由于∠DAE=45°，若∠AED=45°，那么∠ADE=90°，而AD不一定与BC垂直，由此即可确定是否是否正确；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；
④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
解答：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正确；
②∵∠DAE=45°，若∠AED=45°，
那么∠ADE=90°，而AD不一定与BC垂直，
故②不正确；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
故③错误；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正确．
故选B．
点评：此题主要考查图形的旋转变换，解题时注意旋转前后对应的相等关系．