Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．
（1）当AB=10，CD=6时，求OE的长；
（2）∠OCD的平分线交⊙O于点P，连接OP．求证：OP∥CD．

Answer 1

（1）解：∵直径AB⊥弦CD，
∴AB平分弦CD，即CE=CD=3，
在Rt△OCE中，由勾股定理，
得OE===4；

（2）证明：∵OC=OP，
∴∠OCP=∠P，
又∵∠DCP=∠OCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP．
分析：（1）由AB与CD垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出CE的长，在直角三角形OCE中，由OC与CE的长，利用勾股定理即可求出OE的长；
（2）由OC=OP，利用等边对等角得到一对角相等，再由CP为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及平行线的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．