Question

如图，PA、PB切⊙O于A、B，D是弧AB上任一点，过点D作⊙O的切线交PA、PB于点E、F．
（1）若PA=4，求△PEF的周长；
（2）若PE=13，PF=12，EF=5，你能求出⊙O的半径吗？

Answer 1

解：（1）∵EA，ED都是圆O的切线，
∴EA=ED，
同理FD=FB，PA=PB，
∴三角形PEF的周长=PE+PF+EF=PE+EA+PF+BF=PA+PB=2PA=8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）
∵PE=13，PF=12．EF=5，
∴PF²+EF²=PE²=169，
∴△PEF
∴∠EFP=90°，
∵PA=PB=×△PEF周长故有PA=PB=（13+12+5）=15∴FB=PB-PF=15-12=3
∵∠EFP=∠FDO=∠FBO=90°，OD=OB，
∴四边形ODFB为正方形，
∴OB=BF=3，
即⊙O的半径是3．
分析：（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；
（2）由（1）的结论可求出PA，PB的长，利用勾股定理的逆定理可判定△PEF是直角三角形，再利用切线的性质即可证明四边形DOBF是正方形，进而求出⊙O的半径．
点评：本题考查的是切线长定理和勾股定理的逆定理以及正方形的判定和性质，对于切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．