Question

如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1cm/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC-CD以2cm/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P运动时间为x秒．
（1）当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP=∠BEQ？
（2）设△APE的面积为ycm²，AP=xcm，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）当4＜x＜8时，求函数值y的范围．

Answer 1

分析：（1）根据∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，BE=BE，得出△PEB≌△QE，B即可得出PB=BQ求出即可；
（2）分别利用当0＜x≤4时，以及当4＜x＜8，Q在CD上，利用相似三角形性质得出NE的长，进而表示出△APE的面积；
（3）利用当4＜x＜8时，由y=

16x

12-x

，得x=

12y

16+y

，即可得出16+y＜3y＜2（16+y），求出即可．

解答：解（1）如图1，AP=xcm，BQ=2xcm，
当∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，
∵

∠BEP=∠BEQ BE=BE ∠PBE=∠EBQ

，
∴△PEB≌△QEB（ASA），
∴PB=BQ，即8-x=2x，
解得：x=

8

3

，
∴出发

8

3

秒后，∠BEP=∠BEQ；        
         
（2）当0＜x≤4时，如图2，Q在BC上，过E作EN⊥AB，EM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△QEB，
∴

AD

BQ

=

AE

EQ

=

8

2x

=

4

x

，
∴

AE

EQ

=

4

x

，
∴

AE

AQ

=

4

x+4

，

NE

BQ

=

AE

AQ

，
∴NE=2x•

4

x+4

=

8x

4+x

，
∴S_△APE=

1

2

AP•EN=

1

2

x•

8x

4+x

=

4x2

x+4

，
即y=

4x2

x+4

（0＜x≤4），
当4＜x＜8，Q在CD上，作QF⊥AB于F，交BD于H （如图3）
DQ=HQ=16-2x，
∵AD∥FQ，
∴△ADE∽QHE，
∴

AE

EQ

=

AD

QH

=

8

16-2x

=

4

8-x

，
∴

AE

AQ

=

4

8-x+4

=

4

12-x

，
作EN⊥AB，
∵NE∥FQ，
∴△ANE∽△AFQ，
∴

NE

QF

=

AE

AQ

，
∴NE=

32

12-x

，
∴S_△APE=

1

2

AP•EN=

1

2

x•

32

12-x

=

16x

12-x

，
即y=

16x

12-x

（4＜x＜8）；
                  
（3）当4＜x＜8时，由y=

16x

12-x

，
得x=

12y

16+y

，
由4＜x＜8，
可得4＜

12y

16+y

＜8，
∵y＞0，
∴16+y＞0，
∴4（16+y）＜12y＜8（16+y），
16+y＜3y＜2（16+y），
即

3y＞y+16 3y＜2(y+16)

，
解得：8＜y＜32，
当4＜x＜8时，8＜y＜32．

点评：此题主要考查了全等三角形判定、相似三角形的判定与性质以及不等式组的解法等知识，根据已知得出△ANE∽△AFQ，△AED∽△QEB，进而得出NE的长是解题关键．