Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC=

45

°；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．

Answer 1

分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，根据△ACB≌△DAC，可得∠ACB=2∠ABC，在△ABC中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE．

解答：解：（1）∵AC=AD，
∴∠D=∠ACD，
∵△ACB≌△DAC，
∴∠DAC=∠ACB，∠B=∠BAC，
∵∠DAC=2∠ABC，
∴∠ACB═2∠ABC，
∴∠ABC=45°；…（2分）

（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，
并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．…（3分）
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3．…（4分）
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5…（5分）
∴BD=5．…（6分）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．