Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A₁B₁C，设A₁B₁与BC相交于点D．
（1）如图1，当AB∥CB₁时，说明△A₁CD是等边三角形；
（2）如图2，当点A₁正好在边AB上时，判别A₁B₁与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
又∵∠A=∠CA₁D=60°，
∴∠A₁CD=180°-60°-60°=60°，
∴∠A₁CD=∠CA₁D=∠A₁CD=60°，
∴△A₁CD是等边三角形；

（2）解：A₁B₁与BC的位置关系是A₁B₁⊥BC，
理由是：∵A₁C=AC，∠A=60°，
∴△ACA₁是等边三角形，
∴∠ACA₁=60°，
∴A₁CD=90°-60°=30°，
∵∠CA₁D=∠A=60°，
∴∠A₁DC=180°-30°-60°=90°，
即A₁B₁与BC的位置关系是A₁B₁⊥BC．
分析：（1）根据平行线性质和旋转性质求出BCB₁=∠B=∠B₁=30°，求出∠A₁DC=60°=∠CA₁D=60°，求出∠A₁CD=∠CA₁D=∠A₁CD=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）求出△A₁CA是等边三角形，推出∠A₁CA=∠CA₁D=60°，求出∠A₁CD的度数，根据三角形的内角和定理求出∠A₁DC=90°，根据垂直定义推出即可．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点，注意：旋转前后的图形全等，有三个角相等的三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都等于60度．