Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=

k

x

也经过A点．
（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥x轴于D，利用△AOB为等腰直角三角形得到OD=AD=BD，然后设A（a，a），则a=3a-4，解得a=2从而表示出点A的坐标；
（2）根据点A在反比例函数的图象上将点A代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（3）设M（m，n）根据∠PAM=∠OAB=90°得到∠OAP=∠BAM，从而证得△OAP≌△BAM，得到∠ABM=∠AOP=45°，从而 MB⊥x轴再根据OB=4求得点M的坐标即可．  
（4）过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；

（2）又点A在y=

k

x

上，
∴k=4，反比列函数为y=

4

x

；

（3）存在．                    
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB  AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4  
∵点M在y=

4

x

上
∴M（4，1）；

（4）不存在                  
由（3）中所证易知：
假设在双曲线上存在点N，
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．

点评：本题考查反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．