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观察下列等式： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，将以上三个等式两边分别相加得： $数学公式$
（1）猜想并写出： $数学公式$ =；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① $数学公式$ =；
② $数学公式$ =__．
（3）探究并计算： $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ ；
（2）① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
（3）原式= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
分析：（1）从材料中可看出规律是 $\text{[math]}$ ；
（2）直接根据规律求算式（2）中式子的值，即展开后中间的项互相抵消为零，只剩下首项和末项，要注意的是末项的符号是负号，规律为 $\text{[math]}$ ；
（3）观察它的分母，发现两个因数的差为2，若把每一项展开成差的形式，则分母是2，为了保持原式不变则需要再乘以 $\text{[math]}$ ，即得出最后结果．
点评：本题考查的是有理数的运算能力和学生的归纳总结能力．解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题．本题中的难点是第（3）个问题，找出分母因数的差为2，把每一项展开成差的形式，则分母是2，所以为了保持原式不变需要再乘以 $\text{[math]}$ ，是解决此题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

观察下列等式：

1×2

=1-

，

2×3

，

3×4

，
…

n(n+1)

n+1

将以上等式相加得到

1×2

2×3

3×4

+…+

n(n+1)

=1-

n+1

．
用上述方法计算：

1×3

3×5

5×7

+…+

99×101

其结果为（　　）

A、

101

B、

101

C、

100

101

D、

101

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科目：初中数学 来源： 题型：

2、观察下列等式：2=2=1×2；2+4=6=2×3；2+4+6=12=3×4；2+4+6+8=20=4×5；…
（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是

n（n+1）

；
（2）当n=10时，从2开始到第10个连续偶数的和是

110

．

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科目：初中数学 来源： 题型：

观察下列等式：

1×2

=1-

，

2×3

，

3×4

，…用自然数n将上面式子的一般规律表示为

．

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科目：初中数学 来源： 题型：

观察下列等式，找出规律然后空格处填上具体的数字．1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²，1+3+5+7+9+11=

．
（1）第5个式子等号右边应填的数是

．
（2）根据规律填空1+3+5+7+9+…+99=

．

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科目：初中数学 来源： 题型：

观察下列等式：
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
…
则1+3+5+…+15=

²
并请你将想到的规律用含有n（n是正整数）的等式来表示就是：

1+3+5+7+…+（2n-1）=n²

．

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同步练习册答案

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观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=______；（2）直接写出下列各式的计算结果：①=______；②=______．（3）探究并计算：．