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在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D为AB边上一点,AD=3BD,CD=2
10
,∠CDE=45°,点E在直线AC上,则AE=
 
考点:相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题:分类讨论
分析:分两种情况:①点E在AC上时;②线段在AC的延长线上时;分别运用三角形相似求出线段AE的长.
解答:解:①如图1,点E在AC上时,

∵△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠EAD=CB=45°,
∵∠CDE=45°,∠CDA=∠CDE+∠ADE=∠B+∠BCD,
∴∠ADE=∠BCD,
∴△ADE∽△BCD,
AD
BC
=
AE
BD

∵AC=BC,AB=
2
AC,
∵AD=3BD,
∴AD=
3
4
AB=
3
2
4
AC,BD=
1
4
AB=
2
4
AC,
3
2
4
AC
AC
=
AE
2
4
AC

∴AE=
3
8
AC,
∵∠CDE=∠A=45°,
∴△CED∽△CDA,
CD
AC
=
CE
CD

∵CD=2
10

∴AC•CE=40,
8
3
AE•CE=40,即AE•CE=15,
∵AE+CE=AC,即AE+CE=
8
3
AE

∴CE=
5
3
AE,
∴AE•
5
3
AE=15,解得AE=3.
(2)如图2,E在AC的延长线上,

∵∠CDE=45°,∠DCM=∠BCD,
∴△CDE∽△BCD,
CD
CB
=
CM
CD

∵CD=2
10
,CB=AC,
∴BC•CM=40,即AC•CM=40
∵∠EDB=∠A+∠E,∠DCA=∠E+∠CDE,
∵∠A=∠CDE=45°,
∴∠EDB=∠DCA,
∵∠A=∠B=45°,
∴△BDM∽△ACD,
AC
BD
=
AD
BM

∵AC=BC,AB=
2
AC,
∵AD=3BD,
∴AD=
3
4
AB=
3
2
4
AC,BD=
1
4
AB=
2
4
AC,
AC
2
4
AC
=
3
2
4
AC
BM

∴BM=
3
8
AC,
∵BM+CM=AC,
∴CM=
5
8
AC,
∴AC=8,
作DN∥BC,
DN
BC
=
AN
AC
=
AD
AB
=
3
4

∴DN=BC×
3
4
=8×
3
4
=6,AN=AC×
3
4
=8×
3
4
=6,
∴CN=8-6=2,
∵CM=
5
8
AC=5,
CM
DN
=
CE
EN

5
6
=
CE
CE+2
,解CE=10,
∴AE=AC+CE=8+10=18,
综上所述AE=5或18,
故答案为:5或18.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形,解题的关键是利用三角形相似找出线段的关系求解.
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,q=
 

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下列算式正确的是(  )
A、2a-1=
1
2a
B、
22
3
=
4
9
C、a3m+2÷am-1=a2m+3
D、-(3x)2=9x2

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下列式子正确的是(  )
A、
4
=±2
B、
39
=3
C、
-25
=-5
D、±
16
=±4

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