Question

如图，在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中①BC=BD=AD；②；③BC²=CD•AC；④若AB=2，，其中正确的结论的个数是________个．

Answer 1

4
分析：在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．
解答：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，正确；
②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，正确；
③由①的条件可证△BCD∽△ACB，则=，即BC²=CD•AC，正确；
④设BC=x，则AC=AB=2，CD=AC-AD=2-x，由BC²=CD•AC，得x²=（2-x）•2，解得x=-1（舍去负值），即BC=-1，正确．
正确的有四个，
故答案为：4．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．关键是明确图形中的三个等腰三角形的特点．