Question

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点这P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）填空：无论点P运动到何处，PC

 

PD（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．

Answer 1

分析：（1）由于D是OA的中点，可得OD=OC=2，而OP是角COA的平分线，易证得PC、PD所在的三角形全等，由此可判定两条线段的数量关系为相等．
（2）当点P到点B的距离最小时，BP⊥OP；设OP与BC的交点为F，由于∠COP=45°，易证得△COF、△BPF为等腰直角三角形，过P作x轴的垂线，交BC于M，由于BF=CF=2，易求得PM、FM的值，进而可得到点P的坐标，而O、D的坐标已知，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式．
（3）由于OP平分∠COD，且OC=OD=2，那么C、D正好关于直线OP对称，若△PDE的周长最小，由于DE是定长，那么PD+PE就最小，那么点P必为直线CE与OF的交点，可先求得直线CE的解析式，联立直线OP的解析式即可求出点P的坐标，此时△PDE的最小周长即为线段CE的长，由此得解．

解答：解：（1）∵∠COP=∠DOP=45°，OC=OD=2，OP=OP，
∴△COP≌△DOP；
故PC=PD．

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点F的坐标为（2，2），
故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx；
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴抛物线的解析式为y=x²-2x．

（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小；
∵抛物线y=x²-ax的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
设CE所在直线的解析式为y=kx+b，则有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

；
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2；
点P满足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故点P的坐标为（

1

2

，

1

2

）．
△PED的周长即是CE+DE=

10

+

2

．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、轴对称图形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及平面展开最短路径问题等重要知识；能够发现C、D关于直线OP对称，并且正确的确定点P的位置，是解答（3）题的关键．