Question

4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=5，AD=4，则AE的长为$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，可解得DE的长，由AE=AD-DE求解即可得出答案．

解答 解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=3，
∴∠CBD=∠DAB，
∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{3}{4}$，
解得DE=$\frac{9}{4}$，
∴AE=AD-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$．
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．