Question

15．如图，AD⊥BD，∠CDB=30°，B为AC的中点，求∠DBA的余弦．

Answer 1

分析 延长DB至E，使BE=BD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠E，∠DBA=∠EBC，设CE=x，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=2x，利用勾股定理列式求出DE，再求出BE，然后利用勾股定理列式求出BC，再利用锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边列式计算即可得解．

解答 解：如图，延长DB至E，使BE=BD，连接CE，
∵B是AC的中点，
∴AB=BC．
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠ADB=∠E，∠DBA=∠EBC，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠E=90°．
设CE=x，∵∠BDC=30°，
∴CD=2CE=2x，
由勾股定理得DE=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△BCE中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x，
∴cos∠DBA=cos∠EBC=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{\sqrt{7}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形．