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我们把既有外接圆又有内切圆的四边形称为双圆四边形,如图1,四边形ABCD是双圆四边形,其外心为O1,内心为O2
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中,双圆四边形有
 
个;
(2)如图2,在四边形ABCD中,已知:∠B=∠D=90°,AB=AD,问:这个四边形是否是双圆四边形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;
(3)如图3,如果双圆四边形ABCD的外心与内心重合于点O,试判定这个四边形的形状,并说明理由.
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分析:(1)有给出的图形可知只有正方形是双圆四边形;
(2)可先设AC的中点为O1,证明A、B、C、D在以O1为圆心,以O1A为半径的圆上;再作∠ABC的平分线,交AC于O2,分别作O2E⊥AB,O2F⊥BC,O2G⊥CD,O2H⊥AD,E、F、G、H是垂足,再证明O2E=O2F=O2G=O2H即可;
(3)利用垂径定理,圆心角定理可证明这个四边形是正方形.
解答:精英家教网解:(1)1;

(2)四边形ABCD是双圆四边形.
证明:设AC的中点为O1
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴O1B=O1D=
1
2
AC
=O1A=O1C,
∴A、B、C、D在以O1为圆心,以O1A为半径的圆上.
作∠ABC的平分线,交AC于O2,分别作O2E⊥AB,O2F⊥BC,O2G⊥CD,O2H⊥AD,E、F、G、H是垂足,O2E=O2F.
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∵AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∴O2E=O2H,O2G=O2F,
即O2E=O2F=O2G=O2H,
∴以O2为圆心,以O2E为半径的圆与四边形ABCD的各边都相切.
故四边形ABCD是双圆四边形.

(3)四边形ABCD是正方形.理由如下:
∵小圆是四边形ABCD的内切圆,
∴圆心O到AB、BC、CD、DA的距离相等.
又∵AB、BC、CD、DA是大圆的弦,
∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DA,
∴四边形ABCD是正方形.
点评:本题考查了四边形的内切圆和外接圆,当四边形是正四边形时,这两个圆是同心圆.本题用到的和圆有关的定理还有垂径定理、圆心角定理.
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