Question

如图3­4­16，在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图3­4­16

Answer 1

解：(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－3)²＋4，

此抛物线过点A(0，－5)，

∴－5＝a(0－3)²＋4，∴a＝－1.

∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)²＋4，

即y＝－x²＋6x－5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离．

证明：令y＝0，即－x²＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

∴B(1,0)，C(5,0)．

设切点为E，连接CE，

由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴＝，即＝，

解得CE＝.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r＝d＝.

又点C到抛物线对称轴的距离为5－3＝2，而2>.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离．

(3)假设存在满足条件的点P(x_p，y_p)，

∵A(0，－5)，C(5,0)，

∴AC²＝50，

AP²＝(x_p－0)²＋(y_p＋5)²＝x＋y＋10y_p＋25，CP²＝(x_p－5)²＋(y_p－0)²＝x＋y－10x_p＋25.

①当∠A＝90°时，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC²＋AP²＝CP²，

∴50＋x＋y＋10y_p＋25＝x＋y－10x_p＋25，

整理，得x_p＋y_p＋5＝0.

∵点P(x_p，y_p)在抛物线y＝－x²＋6x－5上，

∴y_p＝－x＋6x_p－5.

∴x_p＋(－x＋6x_p－5)＋5＝0，

解得x_p＝7或x_p＝0，∴y_p＝－12或y_p＝－5.

∴点P为(7，－12)或(0，－5)(舍去)．

②当∠C＝90°时，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC²＋CP²＝AP²，

∴50＋x＋y－10x_p＋25＝x＋y＋10y_p＋25，

整理，得x_p＋y_p－5＝0.

∵点P(x_p，y_p)在抛物线y＝－x²＋6x－5上，

∴y_p＝－x＋6x_p－5，

∴x_p＋(－x＋6x_p－5)－5＝0，

解得x_p＝2或x_p＝5，∴y_p＝3或y_p＝0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，－12)或(2,3)．