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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
    （1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
    5
    4
    m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；
    （2）若AN=
    15
    8
    ，DN=
    9
    8
    ，求DE的长；
    （3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．
    分析：（1）根据根的判别式△=0，判断出AM=AN，
    （2）判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，利用相似三角形的性质解答，
    （3）根据面积比等于相似比的平方解答．
    解答：（1）证明：△=（-2m）2-4（n2-mn+
    5
    4
    m2）=-（m-2n）2≥0，
    ∴（m-2n）2≤0，
    ∴m-2n=0，
    ∴△=0
    ∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
    5
    4
    m2=0有两个相等实根，
    ∴AM=AN．

    （2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
    ∴∠ADC=∠ADB=90°，
    ∠DAC=∠DBA，
    ∴△ADC∽△BDA，
    ∴
    AD
    BD
    =
    DC
    AD
    ，
    ∴AD2=BD•DC，
    ∵CF⊥BE，
    ∴∠FCB+∠EBD=90°，
    ∵∠E+∠EBD=90°，
    ∴∠E=∠FCB，
    ∵∠NDC=∠EDB=90°，
    ∴△EBD∽△CND，
    ∴△ADC∽△BDA，
    ∴
    ED
    CD
    =
    BD
    DN
    ，
    ∴BD•DC=ED•DN，
    ∴AD2=ED•DN，
    ∵AN=
    15
    8
    ，DN=
    9
    8
    ，
    ∴AD=DN+AN=3，
    ∴32=
    9
    8
    DE，
    ∴DE=8．

    （3）解：由（1）知AM=AN，
    ∴∠AMN=∠ANM
    ∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
    ∴∠ACM=∠NCD
    ∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
    ∴∠ACM=∠FBM
    由（2）可知∠E=∠FCB，
    ∴∠ABE=∠E，
    ∴AB=AE
    过点M作MG⊥AN于点G
    由MG∥BD得
    MG
    BD
    =
    AM
    AB
    ，
    ∴
    S△AMN
    S△ABE
    =
    1
    2
    AN•MG
    1
    2
    AE•BD
    =
    AM2
    AB2
    =
    9
    64
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    ∴
    AM
    AB
    =
    3
    8
    ，
    ∴
    AN
    AE
    =
    AM
    AB
    =
    3
    8
    ，
    过点A作AH⊥EF于点H，
    由AH∥FN，
    得
    EH
    HF
    =
    AE
    AN
    =
    8
    3
    ，
    设EH=8a，则FH=3a，
    ∵AE=AB，
    ∴BH=HE=8a，
    ∴BF=5a，EF=11a，
    由根与系数关系得，
    BF+EF=16a=
    16
    5
    k
    BF•EF=55a2=2k2+1
    ，
    解得：a=±
    		5
    5
    ，
    ∵a＞0，a=
    		5
    5
    ，
    ∴BF=
    		5
    ，
    由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
    ∴
    AC
    BC
    =
    AN
    BM
    =
    3
    5

    设AC=3b，则BC=5b
    在Rt△ABC中，有AB=4b．
    ∴AM=
    3
    2
    b    ．
    在Rt△ACM中，有MC=
    3
    		5
    2
    b
    由△ACM∽△FCB得
    BC
    BF
    =
    CM
    AM
    ，∴
    BC
    		5
    =
    3
    		5
    2
    b
    3
    2
    b
    ，
    ∴BC=5．
    点评：此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力，命题立意：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用．
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