Question

1．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=13cm，△ABF的周长为30cm，求△ABF的面积；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结EF交AC于点O，由折叠的性质得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA证明△AOE≌△COF，得出OE=OF，证出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AF=AE=13cm，设AB=xcm，BF=ycm，由勾股定理得出x²+y²=169①，由三角形的周长得出x+y=17cm，因此（x+y）²=289②，由①、②得出xy=60，△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB×BF=$\frac{1}{2}$xy，即可得出结果；
（3）过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．则∠AEP=90°，证出△AOE∽△AEP，得出对应边成比例$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，则AE²=AO•AP，再由$AO=\frac{1}{2}AC$，即可得出结论．

解答 （1）证明：连结EF交AC于点O，如图1所示：
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=13cm，
设AB=xcm，BF=ycm，
∵∠B=90°，
∴x²+y²=169 ①，
又∵△ABF的周长为30cm，
∴x+y+AF=30cm，
∴x+y=17cm，
∴（x+y）²=289②，
由①、②得：xy=60，
∴△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB×BF=$\frac{1}{2}$xy=30（cm²）．
（3）解：存在，如图2，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．理由如下：
由作法得：∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，
又∵∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，则AE²=AO•AP，
∵$AO=\frac{1}{2}AC$，
∴$A{E^2}=\frac{1}{2}AC•AP$．
∴2AE²=AC•AP．

点评 本题是四边形综合题目，考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是菱形和证明三角形相似是解决问题的关键．