Question

如图1，已知两个反比例函数y1=

k1

x

和y2=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐标系xOy第一象限内的图象如图所示，动点A在y1=

k1

x

的图象上，AB∥y轴，与y2=

k2

x

的图象交于点B，AC、BD都与x轴平行，分别与y2=

k2

x

、y1=

k1

x

的图象交于点C、D．
（1）用含k₁、k₂的代数式表示四边形ACOB的面积．
（2）当k₁=8，k₂=2时，
①若点A横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
②将y2=

k2

x

沿x轴翻折得到y3=

k3

x

，动点N在y₃上，若∠AON=90°，求

AO

ON

的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可；
（2）①首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式，可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标．根据点C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式，根据题意，得点F的横坐标是2，再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标；
②先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出反比例函数y3=

k3

x

的解析式，设出N点坐标，根据互相垂直的两条直线的关系求出N点坐标，再根据勾股定理求出AO及ON的长，故可得出结论．

解答：解：（1）∵点A、B分别在反比例函数y₁=

k1

x

，y₂=

k2

x

，的图象上，AG⊥x轴，AH⊥y轴，
∴S_矩形AHOG=k₁，S_△HOC=S_△BOG=

k2

2

∴S_{四边形ACOB}=S_矩形AHOG-（S_△HOC+S_△BOG=）=k₁-2×

k2

2

=k₁-k₂；

（2）①由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．
∵设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴

1 2 k+b=4 8k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 21 5

，
∴直线CD的解析式为y=-

2

5

x+

21

5

，
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时，y=（-

2

5

）×2+

21

5

=

17

5

∴点F的坐标为（2，

17

5

）
②∵反比例函数y2=

k2

x

与y3=

k3

x

关于x轴对称，
∴反比例函y3=

k3

x

的解析式为y=-

2

x

，
∵点N在反比例函数y=-

2

x

的图象上，
∴设N（x，-

2

x

）（x＞0），
∵∠AON=90°，由①知A（2，4），
∴

4

2

×（-

2 x

x

）=-1，解得x=2或x=-2（舍去），
∴N（2，-1），
∴ON=

22+12

=

5

，AO=

22+42

=2

5

，
∴

AO

ON

=

2 5

5

=2．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、用待定系数法求一次函数函数的解析式及关于x轴对称的点的坐标特点，涉及面较广，难度适中．