Question

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
求证：（1）

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；
（2）以a+b，h和c+h为边是否构成三角形？如果构成三角形，试确定该三角形的形状；如果不能构成三角形，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的面积的不同表示方法，得到a，b，c，h之间的比例式，再利用等式的变形和勾股定理即可证明结论；
（2）根据勾股定理的逆定理即可进行判定．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴a²+b²=c²，S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

ab．
∵CD⊥AB于D，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

ch．
∴

1

2

ab=

1

2

ch，
∴ab=ch，
∴

c

ab

=

1

h

，
∴

c2

a2b2

=

1

h2

．
∵a²+b²=c²，
∴

a2+b2

a2b2

=

1

h2

，
∴

a2

a2b2

+

b2

a2b2

=

1

h2

，
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

（2）解：以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形，
∵（a+b）²+h²=a²+2ab+b²+h²=c²+2ab+h²，（c+h）²=c²+2ch+h²
∵ab=ch，
∴（a+b）²+h²=（c+h）²
∴以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形．

点评：熟练运用直角三角形的勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积计算方法．