Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．
（1）如图1，连接AC，求证：AC是∠BCD的角平分线；
（2）线段BC上一点E，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M．
①如图2，当点M与点D重合时，求证：FM=

3

3

AB；
②如图3，当点M不与点D重合时，求证：FM-DM=

3

3

AB．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）连接AC，根据AD=CD，得出∠1=∠3，根据AD∥BC，得出∠1=∠2，进而得出答案；
（2）①过点D作DN⊥BC于点N，首先证明Rt△AFD≌Rt△DNC进而得出∠DAF=30°，即可得出答案；
②利用过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接AC，
∵AD=CD，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC是∠BCD的角平分线；

（2）解：①过点D作DN⊥BC于点N，
由题意可得出：AB=DN，
∵将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，
∴∠B=∠AFE，AB=AF，
∴AF=DN，
在Rt△AFD和Rt△DNC中，

AD=CD AF=DN

，
∴Rt△AFD≌Rt△DNC（HL），
∴∠1=∠C=60°，
∴∠DAF=30°，
∴

DF

AF

=tan30°=

3

3

，
∴FM=

3

3

AF，
∴FM=

3

3

AB；

②过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定等知识，根据已知得出全等三角形进而得出对应角对应边的关系是解题关键．