Question

6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-3，0），顶点D的坐标为（-1，4）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求B、C两点的坐标．
（3）连接AD、AC、CD、BC，在y轴上是否存在点M，使得以M、B、C为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4，将点A的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）将x=0代入求得对应的y值可得到点C的坐标，然后将y=0代入可求得对应的x的值可求得点B的坐标；
（3）由点A、B、C的坐标可求得，DC、AC、AD、BC的长，从而可得到∠DCA=90°，然后分为∠CMB=90°和∠CBM=90°两种情况求解即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4．
将点A的坐标为（-3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1．
所以抛物线的表达式为y=-（x+1）²+4，y=-x²-2x+3．
（2）将x=0代入得：y=3，
∴C（0，3）．
令y=0得：-x²-2x+3=0，解得：x=-3或x=1，
∴B（-1，0）．
（3）∵A（3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴DC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，
∴∠DCA=90°．
当∠CMB=90°时，点O与点M重合，
∴点M的坐标为（0，0）．
当∠CBM=90°时，$\frac{CB}{CM}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{\sqrt{10}}{CM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，解得：CM=$\frac{10}{3}$．
∴点M的坐标为（0，-$\frac{1}{3}$）．
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．