Question

7．已知，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，点D在BC上，且BD=DC，∠BAC=x°，∠EDF=y°．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）当x=60°时，求y的值，并判断△DEF的形状；
（3）若△DEF为等腰直角三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行讨论：①当∠A为锐角时，如图1所示；②当∠A为钝角时，如图2所示，分别根据角的和差关系求得y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）当x=60°时，由（1）可得，y=180°-2×60°=60°，得出∠EDF=60°，再根据Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC，可得DE=DF，据此判定△DEF的形状为等边三角形；
（3）分两种情况进行讨论：①当∠A为锐角时，如图1所示；②当∠A为钝角时，如图2所示，分别根据△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，得出∠EDF为直角，即y=90，分别运用（1）中的函数解析式即可求得x的值．

解答 解：（1）①当∠A为锐角时，如图1所示，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BD=DC，
∴Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC=CD，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴∠BDE=2∠DCE，∠CDF=2∠DBF，
又∵∠BDE+∠CDF-∠EDF=180°，
∴2∠DCE+2∠DBF-∠EDF=180°，
即2（∠DCE+∠DBF）-∠EDF=180°，
∴2（180°-∠A）-∠EDF=180°，
又∵∠BAC=x，∠EDF=y，
∴2（180-x）-y=180，
∴y=2（180-x）-180，
即y=180-2x（0＜x＜90）；
②当∠A为钝角时，如图2所示，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BD=DC，
∴Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC=CD，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴∠BDE=2∠DCE，∠CDF=2∠DBF，
又∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，
∴2∠DCE+2∠DBF+∠EDF=180°，
即2（∠DCE+∠DBF）+∠EDF=180°，
∴2（180°-∠A）+∠EDF=180°，
又∵∠BAC=x，∠EDF=y，
∴2（180-x）+y=180，
∴y=180-2（180-x），
即y=2x-180（90＜x＜180）；
综上所述，y关于x的函数表达式为y=$\left\{\begin{array}{l}{180-2x（0＜x＜90）}\\{2x-180（90＜x＜180）}\end{array}\right.$；

（2）当x=60°时，由（1）可得，y=180°-2×60°=60°，
即∠EDF=60°，
又∵Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DF，
∴△DEF的形状为等边三角形；

（3）①如图1，∵△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，
∴∠EDF为直角，
即y=90，
此时，90=180-2x，
解得x=45，
故x的值为45；
②如图2，∵△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，
∴∠EDF为直角，
即y=90，
此时，90=2x-180，
解得x=135，
故x的值为135；
综上所述，若△DEF为等腰直角三角形，x的值为45或135．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定的综合应用，解决问题的关键是画出相应的图形，运用分类讨论思想，根据角的和差关系进行求解．