Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（0，4），（2，-2）两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式．

Answer 1

分析：把（0，4），（2，-2）代入解析式整理得，b=-2a-3，c=4，抛物线的解析式变为：y=ax²-（2a+3）x+4，则抛物线在x轴上截得的线段长可表示为

(2a+3)2-16a

|a|

=

4- 4 a + 9 a2

(a＞0)，把根号内的式子看作为关于

1

a

的二次函数，所以当

1

a

=-

-4

2×9

=

2

9

，即a=

9

2

时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将a=

9

2

代入b=-2a-3，得b=-12，即得到抛物线解析式．

解答：解：∵抛物线过（0，4），（2，-2）两点，
∴代入解析式整理得，b=-2a-3，c=4，
∴y=ax²+bx+c=ax²-（2a+3）x+4，
∴此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为

(2a+3)2-16a

|a|

=

4- 4 a + 9 a2

(a＞0)，
∴当

1

a

=-

-4

2×9

=

2

9

，即a=

9

2

时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将a=

9

2

代入b=-2a-3，得b=-12，
∴抛物线的解析式是：y=

9

2

x2-12x+4．

点评：本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．也考查了它与x轴两交点的距离公式：|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

（x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标）．