Question

电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10.05cm．问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由．（不计切割损耗）

Answer 1

解：答：可以切割出66个小正方形．
方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内，如图中矩形ABCD．
∵BC=10AB=10．
∴对角线AC²=100+1=101＜10.05²．

（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形．
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG²=9²+3²=81+9=90＜10.05²．但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
10²+3²=100+9=109＞10.05²．

（3）同理：8²+5²=64+25=89＜10.05²，
9²+5²=81+25=106＞10.05²，
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层．

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个．
∵7²+7²=49+49=98＜10.05²，
8²+7²=64+49=113＞10.05²．

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个．
∵4²+9²=16+81=97＜10.05²，
5²+9²=25+81=106＞10.05²，
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，
故再也放不下一个小正方形了．
∴10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（个）．

方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一．
可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，
然后：（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层；
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层；
（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层．
这样共有：4×9+2×8+2×6+2×1=66（个）．
分析：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层．
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层．
（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层，这样各个层的正方形的个数就可以得到．
点评：本题是圆与正方形相结合的问题，正确理解题意是解决本题的关键．