Question

12．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．
（1）矩形OABC的周长为16；
（2）若C点坐标为（0，3），求线段DE所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换可知DE=DO、EA=OA，将△ECD、△EBA以及矩形OABC的周长用线段相加表示出来，由此即可得出C_矩形OABC=C_△ECD+C_△EBA，代入数据即可求出结论；
（2）根据点C的坐标以及C_矩形OABC=16即可找出OC、OA的长度，设OD=m（0＜m＜3），则DC=OC-OD=3-m，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出BE、CE的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出OD的长度，进而得出点D、E的坐标，再根据点D、E的坐标利用待定系数法即可求出线段DE所在直线的解析式．

解答 解：（1）C_△ECD=EC+CD+DE=4，C_△EBA=EA+AB+BE=12，
由翻折的特性可知：DE=DO，EA=OA，
∴C_矩形OABC=EC+CD+DO+OA+AB+BE=EC+CD+DE+EA+AB+BE═C_△ECD+C_△EBA=4+12=16．
故答案为：16．
（2）∵C点坐标为（0，3），C_矩形OABC=16，
∴OC=3，OA=5．
设OD=m（0＜m＜3），则DC=OC-OD=3-m．
在Rt△ABE中，AB=OC=3，EA=OA=5，
∴EB=$\sqrt{E{A}^{2}-A{B}^{2}}$=4，CE=CB-EB=OA-EB=1．
在Rt△DCE中，DC=3-m，CE=1，DE=OD=m，
∴DE²=DC²+CE²，即m²=（3-m）²+1²，
解得：m=$\frac{5}{3}$，
∴点D的坐标为（0，$\frac{5}{3}$），点E的坐标为（1，3）．
设线段DE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
将D（0，$\frac{5}{3}$）、E（1，3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{3}}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴线段DE所在直线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换以及勾股定理，利用勾股定理找出线段OD、BE的长度是解题的关键．