Question

如图，等边三角形ABC中，M是BC上一点，CF平分∠ACE，且∠AMF=60°．
求证：（1）∠BAM=∠CMF；（2）AM=MF．

Answer 1

证明：（1）在等边三角形ABC中，∠B=60°，
∵∠AMC=∠BAM+∠B，
∴∠BAM+∠B=∠AMF+∠CMF，
∵∠AMF=60°，
∴∠BAM=∠CMF；

（2）过点M作MD∥AC交AB于D，

∴∠BMD=∠ACB，
在等边三角形ABC中，
AB=CB，∠B=∠ACB=60°，
∵∠BMD=60°，
∴∠BDM=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=BM，
∴AD=CM，∠ADM=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=60°，
∴∠MCF=120°，
在△ADM与△MCF中，，
∴△ADM≌△MCF（ASA），
∴AM=MF．
分析：（1）根据等边三角形各内角为60°和外角的性质即可求得∠BAM=∠CMF；
（2）过点M作MD∥AC交AB于D，则∠BMD=∠ACB，即可判定△BDM为等边三角形，进而求证△ADM≌△MCF，可得AM=MF．
点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ADM≌△MCF是解题的关键．