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(2013•兰州一模)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
,把它们称为一元二次方程根与系数关系定理,请利用此定理解答一下问题:
已知x1,x2是一员二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的两个实数根.
(1)是否存在实数m,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出m的值,若不存在,请你说明理由;
(2)若|x1-x2|=
3
,求m的值和此时方程的两根.
分析:(1)先根据根的判别式得到m的取值范围为m≥0且m≠3,再根据根与系数的关系得x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3
,然后利用-x1+x1x2=4+x2
m
m-3
=4-
2m
m-3
,再解关于m的方程即可;
(2)先利用完全平方公式变形得到(x1-x22=3,即(x1+x22-4x1x2=3,再把x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3
代入得到(-
2m
m-3
2-4×
m
m-3
=3,解得m1=1,m2=9,
然后分别把m的值代入原方程,并且利用公式法解方程.
解答:解:(1)存在.
∵x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的两个实数根,
∴m-3≠0且△=4m2-4(m-3)•m≥0,
∴m的取值范围为m≥0且m≠3,
根据根与系数的关系得x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3

∵-x1+x1x2=4+x2
∴x1x2=4+x1+x2
m
m-3
=4-
2m
m-3

∴m=12;

(2)∵|x1-x2|=
3

∴(x1-x22=3,即(x1+x22-4x1x2=3,
∴(-
2m
m-3
2-4×
m
m-3
=3,解得m1=1,m2=9,
当m=1时,原方程变形为2x2-2x-1=0,解得x1=
1+
3
2
,x2=
1-
3
2

当m=9时,原方程变形为2x2+6x+3=0,解得x1=
-3+
3
2
,x2=
-3-
3
2
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.也考查了一元二次方程根的判别式.
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