Question

已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AOCD向终点C运动，运动时间是t秒．
（1）D点的坐标为______；
（2）当t为何值时，△APD是直角三角形；
（3）如果另有一动点Q，从C点出发，沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能，求出对应的t；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）坐标系中线段中点的坐标等于线段两端点坐标和的一半；
（2）分两种情况，DP垂直AP或PD垂直DA；
（3）利用已知条件可求BC=10，直角梯形COAB的面积=56．假设P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28，由于动点P从点A出发到达点O时，用时2秒，此时从C点出发的点Q恰好到达点B，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，所以t=2秒时四边形的面积不能为28．下面分两种情况分别讨论：①t＜2秒；②t＞2秒．
解答：（1）解：∵AO=8，
∴从点D向OA引垂线，垂足为D₁，OD₁=4．从D向OC引垂线，垂足为D₂．OD₂=DD₁=（AB+CO）=7．
故D点的坐标是（4，7）．
故填（4，7）．（4分）

（2）解：直角三角形即能满足勾股定理．
则根据速度公式可得：当DP⊥AO，
点D为线段BC的中点，D点的坐标是（4，7）．
∴AP=4，
t₁=1（6分）
利用勾股定理表示出AP₁²=8²+（4t-8）²，AD²=4²+7²
t₂=．（8分）

（3）解：存在对应的t，能够使P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．理由如下：
由于t=2秒时，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，
所以t=2秒时四边形的面积不能为28．
AP=4t，CQ=5t．
下面分两种情况分别讨论：①t＜2秒时，点P在边OA上，点Q在边BC上．
∵四边形PCQA的面积=28，
∴△POC的面积+△ABQ的面积=直角梯形COAB的面积-四边形PCQA的面积=28，
∴×10×（8-4t）+×4×=28，
解得t=1．
∵1＜2，
∴t=符合题意；
②t＞2秒时，点P在边OC上，点Q在边AB上，四边形PCQA为梯形．
∵四边形PCQA的面积=28，
∴（18-4t+14-5t）×8=28，
解得t=．
∵＜，
∴t=符合题意．
故当t=1或时，P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．
点评：本题考查梯形，坐标与图形性质，直角三角形的判定等，注意动态问题要考虑全面．