Question

12．操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
探究应用：如图（4），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由．

Answer 1

分析 归纳结论：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．
探究应用：（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；
（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；

解答 解：归纳结论：
已知：如图3，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C；
过A点作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；
探究应用
（1）图（4）CABDE
∵CB⊥AB，
∴∠CBA=90°，
∠ABD+∠DBC=90°
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC=90°
∴∠BCE=∠ABD，
在△ADB和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠DAB=∠EBC}\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EBC（ASA）  
∴BE=AD
（2）∵E是AB中点，
∴AE=BE
∵AD=BE，
∴AE=AD
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠DAC
在△ADC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC（SAS）
∴DC=CE，
∴C在线段DE的垂直平分线上
∵AD=AE，
∴A在线段DE的垂直平分线上
∴AC垂直平分DE．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是作出作∠BAC的角平分线AD判断∠B=∠C．