Question

13．归纳式探究--探究小球沿过山车轨道的运动
小雨观察到游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运动，游客却不会掉下来．他想探索其中的奥秘，做了以下两个探究：

（1）探究一：如图甲所示，小球由A点沿光滑轨道自由运动到B点，小球到达B点的速度v与高度h和小球质量m的关系，数据如表一．
表一：

实验次数	h/m	m/kg	v2/（m2•s-2）
1	0.2	2.0×10-2	4.0
2	0.4	2.0×10-2	8.0
3	0.4	3.0×10-2	8.0
4	0.8	2.5×10-2	16.0

则小球到达B点的速度v与高度h有关，且v²=k₁h．
探究二：如图乙所示，小球以一定速度从B点沿光滑的竖直圆形轨道运动，恰好通过最高点C．小球在B点的速度v与轨道半径r的关系，数据如表二．

实验次数	r/m	v2/（m2•s-2）
1	0.15	7.5
2	0.30	15.0
3	0.45	22.5

则小球在B点的速度v与轨道半径r的关系式为v²=50m/s²×r．
（3）如图丙所示，将甲、乙两轨道组合后，小球从A点沿光滑轨道自由运动，若r=0.4m，要使小球经过B点后能恰好通过C点，则h=1m．

Answer 1

分析 （1）根据控制变量法分析1、2次实验数据得出小球到达B点的速度与高度的关系，分析2、3次实验数据得出小球到达B点的速度与质量的关系；
（2）分析表格中r和v²倍数的变化关系得出两者之间关系的表达式；
（3）由表一数据得出k₁的值，根据前面的表达式得出要使小球经过B点后能恰好通过C点时的高度．

解答 解：（1）表格一：
由1、2次实验数据可知，质量相同时，下滑的高度越高到达B点速度的平方越大，且小球下落高度的倍数和到达B点速度平方的倍数相等，即小球到达B点的速度v的平方与高度h成正比；
由2、3次实验数据可知，小球下滑的高度相同时，质量不同的小球到达B点速度的平方相等，则小球到达B点的速度与小球的质量无关，
综上可知，小球到达B点的速度v与高度h有关，且v²=k₁h．
（2）表格二：
由三次实验数据可知，轨道半径的变化数据和v²的变化倍数相等，则小球在B点的速度v²与轨道半径r成正比，设为v²=kr，
把v²=7.5m²/s²、r=0.15m代入可得，k=50m/s²，
小球在B点的速度v与轨道半径r的关系式为v²=50m/s²×r；
（3）由表格一数据可知，当v²=4.0m²/s²时h=0.2m，
则k₁=$\frac{{v}^{2}}{h}$=$\frac{4.0{m}^{2}/{s}^{2}}{0.2m}$=20m/s²，
小球从A点沿光滑轨道自由运动，恰好通过C点时，
由v²=50m/s²×r可得，B点的速度平方：
v_B²=50m/s²×r=50m/s²×0.4m=20m²/s²，
由v²=k₁h可得，小球下落的高度：
h_B=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{20{m}^{2}/{s}^{2}}{20m/{s}^{2}}$=1m．
故答案为：
（1）高度h；h；
（2）v²=50m/s²×r；
（3）1m．

点评 本题考查了学生分析数据得出结论并利用结论解决问题的能力，利用好控制变量法得出各量之间的关系是关键．