Question

（2012?怀柔区一模）如图甲所示，某工地用固定在水平工作台上的卷扬机（其内部有电动机提供动力）通过滑轮组匀速提升货物．为监测卷扬机的工作情况，将固定卷扬机的工作台置于水平杠杆的A端，杠杆的B端连接有配重C，其下方与压力传感器相接触，杠杆AB可绕转轴O在竖直平面内自由转动．当卷扬机提升G₁=1450N的重物以速度v₁匀速上升时，卷扬机的拉力为F₁，滑轮组的机械效率为η₁，压力传感器显示其对配重C的支持力为N₁；当卷扬机提升重为G₂的重物以速度v₂匀速上升时，卷扬机的拉力为F₂，滑轮组的机械效率为η₂，压力传感器显示其对配重C的支持力为N₂．拉力F₁、F₂做功随时间变化的图象分别如图乙中①、②所示．已知卷扬机及其工作台的总重为500N，配重C所受的重力为200N，4υ₁=3υ₂，88η₁=87η₂，5AO=2OB．杠杆AB所受的重力、绳的质量和滑轮与轴的摩擦均可忽略不计．求：

（1）卷扬机提升重物G₂时的功率；
（2）动滑轮所受的重力；
（3）N₁与N₂的比值．

Answer 1

分析：（1）由W-t图象可知卷扬机提升重物G₂时，在时间t=1.5s内做功多少，利用功率公式求卷扬机提升重物G₂时的功率；
（2）设动滑轮所受重力为G_动，卷扬机及其工作平台所受重力为G，根据图象可知t=1.0s内，拉力F₁、F₂做功分别为W₁=900J，W₂=1800J，求出P₁和P₂的比值，而P=Fv，知道4v₁=3v₂，据此求出拉力F₁和F₂的比值，又知道88η₁=87η₂，和G₁的大小，利用η=

W有

W总

=

Gh

Fs

=

Gh

F×5h

=

G

F×5

求出G₂大小；再由F₁=

1

5

（G₁+G_轮）、F₂=

1

5

（G₂+G_轮）联立方程组求动滑轮重；
（3）由F=

1

5

（G+G_轮）求出拉力大小，而卷扬机及其工作平台受到的重力等于拉力加上支持力，据此求出支持力的大小，根据力的作用是相互的，可求杠杆左边受到的压力，知道5AO=2OB，利用杠杆平衡条件求杠杆右边受到的拉力，而配重C受到的重力等于杠杆的拉力加上地面的支持力，据此求出配重C受到的支持力；
同理求出提升重物G₂时的支持力，进而求出N₁与N₂的比值．

解答：解：（1）由题中W-t图象可知：
P₂=

W2

t2

=

2700J

1.5s

=1800W；
（2）设动滑轮所受重力为G_动，卷扬机及其工作平台所受重力为G．
根据图象可知t=1.0s内，拉力F₁、F₂做功分别为W₁=900J，W₂=1800J，

P1

P2

=

W1 t

W2 t

=

W1

W2

=

900J

1800J

=

1

2

，
∵P=Fv，
∴

P1

P2

=

F1×5v1

F2×5v2

=

F1×v1

F2×v2

=

1

2

，
∵4v₁=3v₂，
∴

F1

F2

=

2

3

，
∵η=

W有

W总

=

Gh

Fs

=

Gh

F×5h

=

G

F×5

，
∴

η1

η2

=

G1 F1×5

G2 F2×5

=

G1

F1× 5

×

F2×5

G2

=

G1

F1

×

F2

G2

=

G1

G2

×

F2

F1

=

1450N

G2

×

3

2

=

87

88

，
解得：
G₂=2200N；
提升重物G₁的过程中，重物和动滑轮受力分析如答图1所示，
卷扬机及其工作平台受力分析如答图2所示，
杠杆AB受力分析如答图3所示，
配重C受力分析如答图4所示．
提升重物G₂的过程中，重物和动滑轮受力分析如答图5所示，
卷扬机及其工作平台受力分析如答图6所示，
杠杆AB受力分析如答图7所示，
配重C受力分析如答图8所示．

由受力分析可知，F₁=

1

5

（G₁+G_动）=

1

5

（1450N+G_动），F₂=

1

5

（G₂+G_动）=

1

5

（2200N+G_动），
∵

F1

F2

=

2

3

，
即：

1

5

（1450N+G_动）：

1

5

（2200N+G_动）=2：3，
∴G_动=50N．
（3）F₁=

1

5

（G₁+G_轮）=

1

5

（1450N+50N）=300N，N_A1=G-F₁=500N-300N=200N，
N_A1′=N_A1，5AO=2OB，
∵N_A1′×OA=F_B1′×OB，
∴F_B1′=

N′A1×OA

OB

=

200N×2

5

=80N，
F_B1=F_B1′，N₁=G_C-F_B1=200N-80N=120N；
F₂=

1

5

（G₂+G_轮）=

1

5

（2200N+50N）=450N，N_A2=G-F₂=500N-450N=50N，
N_A2′=N_A2，5AO=2OB，
∵N_A2′×OA=F_B2′×OB，
∴F_B2′=

N′A2×OA

OB

=

50N×2

5

=20N，
F_B2=F_B2′，N₂=G_C-F_B2=200N-20N=180N；
∴

N1

N2

=

120N

180N

=

2

3

．
答（1）卷扬机提升重物G₂时的功率为1800W；
（2）动滑轮所受的重力为50N；
（3）N₁与N₂的比值为2：3．

点评：本题为力学综合题，要求灵活利用所学知识、选用所学公式，利用好滑轮组的特点、杠杆平衡条件，能从图象得出相关信息是本题的关键，难题！