Question

（2012?朝阳区二模）道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所．如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上．弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直．可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动．弹簧自重G_弹簧=30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA=20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l₁=80cm，这时栏杆在水平位置平衡．在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡．栏杆与固定装置总重为G_栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F_拉的关系图象如图乙所示．

求：
（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆；
（2）第二次弹簧的长度．

Answer 1

分析：（1）杠杆的平衡条件是 动力×动力臂=阻力×阻力臂，栏杆作为杠杆受力示意图如下：

所以有等式：F₁?OA=G_栏杆?OB
其中，OA=20cm=0.2m，OB=1.2m，
F₁=F_拉1+G_弹簧，其中G_弹簧=30N，F_拉1通过L₁=80cm时丙图图象中看出，即 F_拉1=300N．
把这些数据代入杠杆平衡条件解方程，得出G_栏杆．
（2）根据杠杆的平衡条件F₂?OA=G_栏杆′?OB，G_栏杆增加5N时G_栏杆′=55N+5N=60N
解出F₂，用F₂减去弹簧重力就是第二次弹簧的拉力，
即：F_拉2=F₂-G_弹簧
弹簧的特点是在弹性限度内，弹簧伸长的长度与拉力成正比，即先后两次弹簧的伸长量与弹簧的拉力成正比，这样列出方程即可求出第二次弹簧长度．
方程为：（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1．

解答：解：（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆．当杠杆水平平衡时，受力示意图如下

根据杠杆平衡条件：F₁?OA=G_栏杆?OB
F₁=F_拉1+G_弹簧，从图丙中可以知道：F_拉1=300N
G_栏杆

(F拉1 +G弹簧)?OA

OB

=

(300N+30N)×0.2m

1.2m

=55N   

（2）栏杆上加了警示牌后G_栏杆′=G_栏杆+G_警示牌=55N+5N=60N     
根据杠杆平衡条件：F₂?OA=G_栏杆′?OB
F₂=

G栏杆′?OB

OA

=

60N×1.2m

0.2m

=360N   
F₂=F_拉2+G_弹簧  F_拉2=F₂-G_弹簧=360N-30N=330N     
设弹簧原长为l₀，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1
（l₂-50cm）：（80cm-50cm）=330N：300N
解出l₂=83cm．
答：（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆=55N．
（2）第二次弹簧的长度是83cm．

点评：熟练掌握杠杆的平衡条件和弹簧的特点是解答本题的基础，同时还要具备在所给信息中挑出相关信息列方程的能力．