Question

17．今年冬天，善于思考的小超在仙女山玩耍时，发现一块夹着矿石的冰块，其中冰与矿石的体积之比为50：1，小超将夹着矿石的冰块放入底面积为50cm²，盛有深度为36cm的盐水的圆柱形容器中，冰块处于漂浮状态，如图甲所示，小超测得此时冰块浸入盐水中的体积为380cm³．过一段时间，冰块完全熔化（假设盐水和水混合后体积不变），矿石沉入杯底，如图乙所示，水位上升了1.6cm，（已知盐水的密度为1.25g/cm³，冰的密度为0.9g/cm³）求：
（1）这块夹着矿石的冰块漂浮时受到的浮力；
（2）这块夹着矿石的冰块漂浮时盐水对容器底的压强；
（3）矿石的密度；
（4）矿石对容器底的压力．

Answer 1

分析 （1）已知盐水的密度、冰块排开盐水的体积，根据阿基米德原理可计算冰块漂浮时受到的浮力．
（2）根据△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{容器}}$计算液面上升的高度，已知原来盐水的深度，可得到现在盐水的深度，利用液体压强公式计算冰块漂浮时盐水对容器底的压强．
（3）冰熔化为水，质量不变，利用密度公式和题中条件表示出冰熔化为水的体积；将乙图与最初没有放入冰块相比，可得到增加的体积，而增加的体积等于矿石的体积与冰熔化为水的体积之和，据此列出方程组进行解答；已经求得石块的体积，根据V_冰：V_石=50：1可得冰块中冰的体积，利用密度公式可求出冰块中冰的质量；再利用漂浮条件求出冰和矿石的总质量，从而可以求出石块的质量；利用密度公式可求出石块的密度．
（4）盐水和水混合后体积不变，但盐水的密度减小，利用已经求出的物理量计算此时盐水的密度；利用阿基米德原理计算石块沉底时受到的浮力，根据G=mg计算石块的重力，矿石对容器底的压力等于其重力与浮力之差，故可求解．

解答 解：（1）这块夹着矿石的冰块漂浮时受到的浮力：
F_浮=ρ_盐水gV_排=1.25×10³kg/m³×10N/kg×380×10^-6m³=4.75N；
（2）由题意可知，容器中没有放入冰块时，盐水的深度h₀=36cm，
夹着矿石的冰块漂浮在盐水中时，液面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{容器}}$=$\frac{380c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=7.6cm，
所以，此时盐水的深度：h₁=h₀+△h=36cm+7.6cm=43.6cm=0.436m，
则冰块漂浮时盐水对容器底的压强：
p=ρ_盐水gh₁=1.25×10³kg/m³×10N/kg×0.436m=5450Pa；
（3）已知V_冰：V_石=50：1，则V_冰=50V_石，
冰块中冰的质量：m_冰=ρ_冰V_冰=ρ_冰×50V_石=50ρ_冰V_石------①，
冰熔化为水，质量不变，即m_冰化水=m_冰，
则冰熔化为水的体积：V_冰化水=$\frac{{m}_{冰化水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{50{ρ}_{冰}{V}_{石}}{{ρ}_{水}}$------②，
冰块完全熔化后，水位上升了1.6cm，
则冰块完全熔化后，盐水的深度：h₂=h₁+△h′=43.6cm+1.6cm=45.2cm，
整个过程，如下图所示：

由于盐水和水混合后各自体积不变，则乙图与最初没有放入冰块相比，增加的体积等于矿石的体积与冰熔化为水的体积之和；
所以有：S_容器（h₂-h₀）=V_石+V_冰化水------③
把②代入③可得：S_容器（h₂-h₀）=V_石+$\frac{50{ρ}_{冰}{V}_{石}}{{ρ}_{水}}$，
代入数据有：50cm²×（45.2cm-36cm）=V_石+$\frac{50×0.9g/c{m}^{3}×{V}_{石}}{1g/c{m}^{3}}$，
解得V_石=10cm³，
把V_石=10cm³ 代入①可得冰块中冰的质量：
m_冰=50ρ_冰V_石=50×0.9g/cm³×10cm³=450g；
夹着矿石的冰块漂浮在盐水中时，根据物体的漂浮条件可得：G_冰和石=F_浮=4.75N；
则冰和矿石的总质量：m_冰和石=$\frac{{G}_{冰和石}}{g}$=$\frac{4.75N}{10N/kg}$=0.475kg=475g；
所以矿石的质量：m_石=m_冰和石-m_冰=475g-450g=25g；
则矿石的密度：ρ_石=$\frac{{m}_{石}}{{V}_{石}}$=$\frac{25g}{10c{m}^{3}}$=2.5g/cm³=2.5×10³kg/m³；
（4）原来盐水的体积：V_盐水=S_容器h₀=50cm²×36cm=1800cm³，
原来盐水的质量：m_盐水=ρ_盐水V_盐水=1.25g/cm³×1800cm³=2250g，
冰熔化为水的质量：m_冰化水=m_冰=450g，
冰熔化为水的体积：V_冰化水=$\frac{{m}_{冰化水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{450g}{1g/c{m}^{3}}$=450cm³；
盐水和水混合后，此时盐水的密度：
ρ_盐水′=$\frac{{m}_{盐水}+{m}_{冰化水}}{{V}_{盐水}+{V}_{冰化水}}$=$\frac{2250g+450g}{1800c{m}^{3}+450c{m}^{3}}$=1.2g/cm³；
矿石沉底时，其受到的浮力：F_浮石=ρ_盐水′gV_排′=1.2×10³kg/m³×10N/kg×10×10^-6m³=0.12N；
矿石的重力：G_石=m_石g=0.025kg×10N/kg=0.25N，
矿石对容器底的压力：F_压=G_石-F_浮石=0.25N-0.12N=0.13N．
答：（1）这块夹着矿石的冰块漂浮时受到的浮力为4.75N；
（2）这块夹着矿石的冰块漂浮时盐水对容器底的压强5450Pa；
（3）矿石的密度为2.5×10³kg/m³；
（4）矿石对容器底的压力为0.13N．

点评 本题综合考查了阿基米德原理、密度公式的应用、液体压强的计算、受力分析；难点是第3小题，关键要利用“冰熔化为水，质量不变”这个条件，同时通过液面高度变化找出体积变化的关系；本题未知量多、难度大，利用方程的思想以及作图方法可帮助解题．