Question

16．如图所示，圆心为原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₁．平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面，放置在坐标y=-2.2R的位置．一束质量为m、电荷量为q、动能为E₀的带正电粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，且此时，若将荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₂，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的 N点．不计重力和粒子间的相互作用，求：
（1）打在M点和N点的粒子运动速度v₁、v₂的大小．
（2）在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若区域Ⅱ中的磁感应强度为$\sqrt{3}$ B₁，方向与区域Ⅰ中的相反，试求粒子从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ后的运动周期．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中洛伦兹力不做功，粒子的动能不变，根据动能的大小求出粒子的速度大小．
（2）抓住粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，根据荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变，得出粒子在磁场区域Ⅰ中的轨迹，结合半径公式求出磁场的磁感应强度大小，根据偏转方向确定磁场的方向；根据粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的 N点，作出轨迹，根据几何关系求出半径，从而得出磁感应强度的大小和方向．
（3）作出粒子的运动的轨迹，抓住粒子须由II区再到A点才完成一个周期，通过几何关系，结合粒子在磁场中的运动时间求出粒子从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ后的运动周期．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E₀，速度v₁、v₂大小相等，设为v，由E₀=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向打在M点，轨迹圆心是O₁点，半径为：r₁=R，区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O₂点，半径为r₂，由几何关系得：r=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²，
；
解得：r₂=2R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：B=$\frac{mv}{qr}$；故有：B₁=$\frac{\sqrt{2{mE}_{0}}}{qR}$，方向垂直xOy平面向外．  
B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向垂直xOy平面向里．
（3）如图，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得得在II区的半径为：r₃=$\frac{{r}_{1}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{3}$，得：θ=60°；
；
粒子须由II区再到A点才完成一个周期，故有：360n=（90+60）n'，
$\frac{n}{n'}$=$\frac{5}{12}$，T=（$\frac{1}{4}$×$\frac{2π{r}_{1}}{v}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{2π{r}_{3}}{v}$）×12，
代入数据得：T=$\frac{（18+16\sqrt{3}）πR}{3}\sqrt{\frac{m}{2{E}_{0}}}$．
答：（1）打在M点和N点的粒子运动速度v₁、v₂的大小均为$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$；（2）B₁=$\frac{\sqrt{2{mE}_{0}}}{qR}$，方向垂直xOy平面向外；B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向垂直xOy平面向里；（3）粒子从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ后的运动周期为T=$\frac{（18+16\sqrt{3}）πR}{3}\sqrt{\frac{m}{2{E}_{0}}}$．

点评 处理带电粒子在磁场中的运动问题，关键作出粒子的运动轨迹，确定圆心、半径和圆心角是基础，通过半径公式和周期公式，结合几何关系进行求解．