Question

10．质量相等的两个实心小球甲和乙，已知它们的密度之比是ρ_甲：ρ_乙=1：2．现将甲、乙两球放入盛有足够多水的烧杯中，当甲、乙两球静止时，水对两球的浮力F_甲：F_乙=3：2，则两球V_甲：V_乙=2：1，其中甲球的密度为0.75g/cm³．

Answer 1

分析 （1）知道甲乙两个实心球的质量关系和密度关系，利用V=$\frac{m}{ρ}$求体积关系；
（2）因为两球质量相等，密度之比是ρ_甲：ρ_乙=1：2，由上题知道体积关系（V_甲：V_乙=2：1），若两球在水中都漂浮，就有F_甲：F_乙=G_甲：G_乙=m_甲：m_乙=1：1，与实际不符，显然不是都漂浮；若两球在水中都是全部浸没，就有F_甲：F_乙=ρ_水gV_甲：ρ_水gV_乙=V_甲：V_乙=2：1，与实际不符，显然不可能是全部浸没；这样就只有是一个漂浮、一个浸没，即甲球漂浮，乙球下沉，有F_甲：F_乙=ρ_甲V_甲g：ρ_水V_乙g=3：2，解得甲的密度．

解答 解：
（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，两球的体积之比：
$\frac{{V}_{甲}}{{V}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}}{\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{1}$；
（2）若两球在水中都漂浮，则F_甲：F_乙=G_甲：G_乙=m_甲：m_乙=1：1，而水对两球的浮力之比为F_甲：F_乙=6：5，与实际不符；
若两球在水中都是全部浸没，就有F_甲：F_乙=ρ_水gV_甲：ρ_水gV_乙=V_甲：V_乙=2：1，与实际不符；
这样就只有是一个漂浮、一个浸没，
因为它们的密度之比ρ_甲：ρ_乙=1：2，
所以甲球漂浮，乙球下沉，则有：
F_甲：F_乙=ρ_甲V_甲g：ρ_水V_乙g=ρ_甲V_甲：ρ_水V_乙=3：2，
所以，ρ_甲=$\frac{3}{2}$×$\frac{{V}_{乙}}{{V}_{甲}}$ρ_水=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×1.0×10³kg/m³=0.75×10³kg/m³=0.75g/cm³．
故答案为：2：1； 0.75．

点评 本题考查了学生对密度公式、重力公式、阿基米德原理和物体的浮沉体积的掌握和运用，关键是分析两个物体在水中的状态，这是本题的重点也是难点．