Question

如图甲所示，底面积为80cm²的圆筒形容器内装有适量的液体，放在水平桌面上；底面积为60cm²的圆柱形物体A悬挂在细绳的下端静止时，细绳对物体A的拉力为F₁．将物体A浸没在圆筒形容器内的液体中，静止时，容器内的液面升高了7.5cm，如图乙所示，此时细绳对物体A的拉力为F₂，物体A上表面到液面的距离为h₁．然后，将物体A竖直向上移动h₂，物体A静止时，细绳对物体A的拉力为F₃．已知F₁与F₂之差为7.2N，F₂与F₃之比为 5：8，h₁为3cm，h₂为5cm．不计绳重，g取10N/kg．则液体的密度是

1.2×10³

kg/m³，物体A的密度是

2.8×10³

kg/m³．

Answer 1

分析：（1）先根据容器的底面积和上升的高度求出物体的体积，然后根据浮力的大小（F₁与F₂之差）求出液体的密度；
（2）若求物体的密度，就必须利用“F₂与F₃之比为5：8”，物体全部浸没时，F₂为F₁与F_浮的差，而将物体提升h₂后，F₃为F₂与此时物体所受浮力的差，那么求出提升h₂后，物体A排开水的体积，即浸没在水中部分的体积为解答此题的关键；
首先将研究对象简化，在图乙中，物体完全浸没时，以物体A的底面所在平面为参考面，在提升物体前后，此面以下的液体体积不会发生变化，所以可以先不予考虑；那么参考面以上部分，物体和水的体积总和在提升物体前后始终不变，可利用这个等量关系来列出方程求得提升物体后，物体浸没在水中的高度，进而可求出这部分的体积大小，即：排开水的体积，由此整个题目的未知量全部求出．

解答：解：
（1）v_A=80cm²×7.5cm=600cm³，
则物体A的高度为：h_A=

VA

SA

=

600cm3

60cm2

=10cm；
因为物体在空气中静止时，绳子的拉力等于物体的重力即F₁，
又因为F₁与F₂之差为7.2N，
因此物体在液体中受到的浮力等于7.2N；
即7.2N=ρ_液gv_A
7.2N=ρ_液×10N/kg×600×10^-6m³
ρ_液=1.2×10³kg/m³；
（2）②如图乙，当物体A全部浸没在水中时，以其底面所在平面为参考面，设其位置为e，那么在提出物体A时，在位置e以下的部分体积不再发生变化，因此不做考虑；
那么当物体A提起h₂时，位置e以上的总体积保持不变，若设物体提起h₂时，物体A在液面上的部分高度为xcm，那么以这个总体积不变作为等量关系，可列出：
S_容器?（h_A+h₁）=S_A?x+S_容器?（h_A+h₂-x），即：
80cm²×（10cm+3cm）=60cm²×x+80cm²×（10cm+5cm-x）
解得：x=8；
那么此时，物体A浸入水中的高度为：h=10cm-8cm=2cm．
③已知：完全浸没时细绳对物体A的拉力为F₂与提升高度h₂时细绳对物体A的拉力为F₃的比值为 5：8，得：
（F₁-F_浮）：（F₁-ρ_液gv_排）=5：8，即：
（ρ_Ags_Ah_A-ρ_液gs_Ah_A）：（ρ_Ags_Ah_A-ρ_液gs_Ah）=5：8
解得：ρ_A=

7

3

ρ_液=

7

3

×1.2×10³kg/m³=2.8×10³kg/m³．
故答案为：1.2×10³；2.8×10³．

点评：本题综合考查了密度公式的应用和浮力公式的应用，在提升物体时，水面发生的高度变化是此题的一个难点．