Question

（2013?密云县二模）如图甲所示，动滑轮下面悬挂着物体A，在物体A下面悬挂着空心金属球B．当物体A和金属球B完全在水中以0.2m/s的速度匀速上升的过程中，电动机对绳子的拉力为F₁，拉力F₁所做的功随时间变化的图象如图乙所示；当物体A在水外，空心金属球B在水内匀速上升的过程中，电动机对绳子的拉力为F₂，此过程中滑轮组的机械效率为η₁，且η₁=80%．当物体A和空心金属球B完全在空气中匀速上升的过程中，电动机对绳子的拉力为F₃，此过程中滑轮组的机械效率为η₂，且η₂=90%．已知：物体A的体积为5×10^-3m³，空心金属球B受到的重力为750N．不计绳重和摩擦及水的阻力，g取10N/kg．求：物体A的密度．

Answer 1

分析：根据三种情况，将动滑轮及物体A、B看做一个整体进行受力分析，列出关系式；
根据图象得出第一种情况下F₁的功率，从而可以根据功及速度计算出F₁的值；
根据机械效率的公式根据后两种情况列出两个有关计算机械效率的关系式，联立便可求出G_A的重力，从而根据密度公式计算出其密度．

解答：解：物体A和金属球B完全在水中匀速上升的过程中，受力情况如图a所示；
物体A在水外，空心金属球B在水内匀速上升的过程中，受力情况如图b所示；
物体A和空心金属球B完全在空气中匀速上升的过程中，受力情况如图c所示；

由图象乙知，当t=4s时，拉力F₁做的功为360J，所以P₁=

W

t

=

360J

4s

=90W；
由图甲知，滑轮组由两段绳子承担物重，所以：
s=2h，v_F=2v=2×0.2m/s=0.4m/s
又P=

W

t

=Fv，则：
F₁=

P

v

=

90W

0.4m/s

=225N；
A浸没在水中受到的浮力：
F_浮A=ρ_水gV_A
=1.0×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m³，
=50N
设动滑轮重为G₀，由图a知，
G_A+G_B+G_O=F_浮A+F_浮B+2F₁
则：G_A+750N+G₀=50N+F_浮B+2×225N
F_浮B=G_A+G₀+250N
当物体A在水外，空心金属球B在水内时，由图b知：
G_A+G_B+G₀=F_浮B+2F₂
G_A+750N+G₀=F_浮B+2F₂
则F₂=

GA+750N+G0-F浮B

2

=

GA+750N+G0-(GA+G0+250N)

2

=250N
η₁=

(GA+GB-F浮B)h

F22h

则：80%=

GA+750N-(GA+G0+250N)

2×250N

解得：G₀=100N
当物体A和空心金属球B完全在空气中时，
G₀+G_A+G_B=2F₃
则F₃=

G0+GA+GB

2

=

100N+750N+GA

2

=

850N+GA

2

η₂=

(GA+GB)h

F32h

则：90%=

GA+750N

850N+GA 2 ×2

解得：G_A=150N
所以ρ_A=

mA

VA

=

GA

gVA

=

150N

10N/kg×5×10-3m3

=3×10³kg/m³
答：物体A的密度为3×10³kg/m³．

点评：此题将浮力知识与滑轮组的机械效率结合在一起，增加了题目的难度，在分析过程中，注意三种不同的状况对物体进行受力分析，考查了浮力的计算、密度的计算及机械效率的计算，难度较大．