Question

【题目】如图所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和均匀实心圆柱体乙置于水平桌面上。甲容器高为3h，底面积为2S，内盛有深为2h的水；圆柱体乙高为4h，底面积为3S。

①若甲容器中水的体积为4×10﹣3米3，求水的质量m水；

②若h等于0.1米，求水对容器底部的压强P水；

③现沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分，并将切去部分竖直置于容器甲的水中后，自然静止沉在容器底部，此时甲容器对水平桌面的压强P容′与切去后的乙对水平桌面的压强P乙′之比为5：8，求圆柱体乙的密度ρ乙。

Answer 1

【答案】①4kg；②1960Pa；③3.0×103kg/m3。

【解析】①由ρ=m/V知道，甲容器中水的质量是：m水=ρ水V水=1.0×103 kg/m3 ×4×10-3 m3 =4kg；

②当h=0.1m时，甲容器中水的深度是：h水 =2h=2×0.1m=0.2m，

水对容器底部的压强是：p水=ρ水gh水=1.0×103 kg/m3 ×9.8N/kg×0.2m=1960Pa；

③根据题意知道，乙圆柱体的质量是：m乙=ρ乙V乙=ρ乙S乙h乙=ρ乙×3S×4h=12Shρ乙 ，沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分后，截取部分的质量是：m截取=1/3m乙 =1/3×12Shρ乙=4Shρ乙，乙剩余部分的质量是：m剩乙=2/3m乙=2/3×12Shρ乙=8Shρ乙，

因为水平面上物体的压力和自身的重力相等，所以，乙对水平桌面的压强是：

p乙′=F乙剩/S乙剩=G乙剩/S乙剩=G乙剩g/S乙剩=8Shρ乙g/2S=4ρ乙gh，

甲容器的容积是：V甲=S甲h甲=2S×3h=6Sh，

甲容器中水的体积是：V水甲=S甲h水′=2S×2h=4Sh，

将切去部分竖直置于容器甲的水中后，若容器甲恰好不溢水，则需要水的体积是：V水′=V甲 -V切浸=V甲-Sh甲=6Sh-S×3h=3Sh，

因为V水甲＞V水′，所以水有溢出，则甲容器内剩余水的体积是：V剩水=（S甲-S）h甲 =（2S-S）3h=3Sh，

故剩余水的质量是：m剩水=ρ水V剩=ρ水×3Sh=3Shρ水 ，

因为水平面上物体的压力和自身的重力相等，且甲容器的重力忽略不计，

所以，甲对水平桌面的压强是：p容′=F容/S甲=G剩水+G截取/S甲=m剩水g+m截取g/S甲=3Shρ水g+4Shρ乙g/2S=1.5ρ水 gh+2ρ乙gh，

由p容′：p乙′=5：8知道，p容′/p乙′=1.5ρ水gh+2ρ乙gh/4ρ乙gh=5/8，整理得：ρ乙 =3ρ水 g=3×1.0×103 kg/m3 =3.0×103 kg/m3。