Question

对一根用新材料制成的金属杆M进行抗拉测量．这根金属杆长4m，横截面积为0.8cm²，设计要求使它受到拉力后的伸长量不超过原长的1/1000．由于这一拉力很大，杆又很长．直接测试有困难，现选用这种材料制成样品进行测试，得到不同情况下的伸长量如下表所示．

（1）测试结果表明，样品受拉力作用后，其伸长量与样品长度的关系是怎样的？与样品的横截面积的关系是怎样的？
（2）完成表格中的数据，计算待测金属杆M能够承受的最大拉力是多大？
（3）数据表明，金属杆能承受的最大拉力与什么因素有关？

Answer 1

分析：此题涉及到多个变量：样品的长度L，横截面积S，受到的拉力F，伸长量x；
根据图表可以初步判断：伸长量x与样品的长度、横截面积、所受拉力都有关系，因此先根据控制变量法（保持其他量一定，来比较被研究对象的比例关系）确定它们之间的正、反比关系，然后将各种情况进行汇总，再运用比值定义法初步确定这几个量之间的数量关系，然后根据所得公式来判断样品能承受的最大拉力，以及与什么因素有关．

解答：解：设样品的长度为L（m），横截面积为S（cm²），受到的拉力为F（N），伸长量为x（cm）；
（1）由表格知：
1、当受到的拉力F、横截面积S一定时，伸长量x与样品长度L成正比；…①
2、当受到的拉力F、样品长度L一定时，伸长量x与横截面积S成反比；…②
3、当样品长度L、横截面积S一定时，伸长量x与受到的拉力F成正比；…③
由1、2的结论，可知答案为：正、反．
（2）由①②③三个结论，可以归纳出，x与L、S、F之间存在一定量的比例关系，设这个比值为k，那么有：
x=k?

FL

S

（k为比例系数）；
任取一组数据，当L=1m，F=300N，S=0.05cm²=5×10^-6m²，x=0.04cm=4×10^-4m；代入上式，得：
4×10^-4m=k?

300N×1m

5×10-6m2

，解得：k=

20

3

×10^-12m²/N；
由题意知：待测金属杆M承受最大拉力时，其伸长量为原来的1/1000，即4×10^-3m；
此时 S=0.8cm²=8×10^-5m²，L=4m；代入上面的公式x=k?

FL

S

中，得：
4×10^-3m=

20

3

×10^-12m²/N×

F×4m

8×10-5m2

，解得：F=12000N．
即：待测金属杆M能够承受的最大压力为12000N．
（3）在（2）题中，得出了伸长量x与所受拉力F、横截面积S、样品长度L的关系式：x=k?

FL

S

；
变形后可得：F=

xS

kL

；由于设计要求的规定：受到拉力后的伸长量不超过原长的1/1000，因此

x

L

的值一定；
那么在式子中，

x

kL

一定时，金属杆所受的最大拉力F与横截面积S有关系，且关系为：
样品受到的最大拉力与横截面积成正比．

点评：本题的难度很大，题中共涉及4个变量，在解题过程中，综合应用了控制变量法、归纳法、比值定义法来进行分析、解答，对同学的综合素质要求很高．